Sophie Germain

Marie-Sophie Germain fue una matemática francesa que hizo importantes contribuciones a la teoría de números y la teoría de la ellasticidad. Uno de los más importantes fue el estudio de los que posteriormente fueron nombrados como Números primos de Sophie Germain.

Debido al prejuicio contra su sexo, no pudo establecer una carrera en matemáticas, por lo que trabajó independientemente a lo largo de su vida.

Nació en París el 1 de abril de 1776. Su padre, diputado de la Asamblea, disponía de una gran biblioteca a la que ella sacó gran provecho; desde los 13 años leía toda la tarde y al anochecer simbulaba acostarse para luego continuar su lectura. Aprendió latín para poder leer a Newton y a Euler. Al enterarse sus padres de sus estudios científicos, la dejaron sin luz y calefacción para que no pudiera seguir leyendo por la noche, pero ella escondía una vela para continuar estudiando envuelta en una manta. 

El día que la encontraron dormida rodeada de cálculos matemáticos comprendieron que no conseguirían disuadirla y, aun que le permitieron que siguiera estudiando, pensaban que una científica jamás podría casarse.

Una de sus más famosas identidades, más comúnmente conocida como ''Identidad de Sophie Germain'' expresa para dos números x e y que:

Otro de sus descubrimientos fueron los números primos de Sophie Germain:

Un número es primo si sólo puede dividirse de forma exacta entre sí mismo y la unidad. Un primo es de Germain si el siguiente de su doble también es primo.

Por ejemplo:

• 2 -> 2·2+1=5 (primo) -> 2 es primo de Germain.

Como representar una parábola a partir de una ecuación de segundo grado

Una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

f(x) = ax² + bx +c

Representación gráfica de una parábola

Se puede representar una parábola a partir de estos puntos:

1. Vértice

Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

2. Puntos de corte con el eje OX.

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x₁, 0) y (x₂, 0) si b² - 4ac > 0

Un punto de corte: (x₁, 0) si b² - 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY.

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c        (0,c)

Representar la función f(x) = x² - 4x + 3

1. Vértice

x _v = - (-4) / 2 = 2     y _v = 2² - 4· 2 + 3 = -1       

 V(2, -1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² - 4x + 3 = 0

     

(3, 0)      (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, 3)

REFERENCIAS:

http://www.ditutor.com/funciones/parabola.html

Tomás Marcos de Dios 3º ESO B TIC 23/04/2015

Emmy Amalie Noether

Nacida el 23 de marzo de 1882 en Erlange, Baviera, Alemania. Murió el 14 de abril de 1935 en Bryn Mawr, Pensilvania, USA. Emmy Noether es conocida por su contribución al álgebra abstracta. El padre de Emmy fue Max Noether, un distinguido matemático y profesor en Erlangen. Su madre fue Ida Kanf Mann. Emmy fue la mayor de cuatro hermanos.Estudió alemán, inglés, francés, aritmética y empezó clases de piano y demostró interés por la danza . En 1900 obtuvo el certificado de profesora de inglés y de francés en la escuela de chicas en Baviera. Decidió un modo de vida distinto al de las demás mujeres de su época, estudiar matemáticas en la universidad, un camino lleno de dificultades para una mujer. En estos años, en Alemania, las mujeres no podían matricularse en las universidades de manera oficial y tenía que solicitar permiso a cada profesor para asistir a su asignatura. Noether obtuvo el permiso en la Universidad de Erlangen ( 1900-1902). Después fue a la Universidad de Gotinga. Entre 1903-1904 asistió a clases de matemáticos tan importantes como Blumethal, Hilbert, Klein y Minkowski. En 1904, Noether obtuvo permiso para matricularse en Erlanger y en 1907 obtuvo el doctorado bajo la dirección Paul Gordan. Después de sus brillantes estudios lo natural hubiera sido que obtuviese una plaza como profesora e investigadora en la universidad pero no pudo ser ¡por ser mujer!. Estuvo un tiempo trabajando con su padre. La reputación de Noether creció cuando aparecieron sus publicaciones. En 1908 fue elegida miembro del círculo Matemático de Palermo. En 1909 llegó a ser miembro de Dents the Mathematiker Vereiningung. Hilbert (padre de la teoría de relatividad junto a A.Einstein) y Klein pidieron a Emmy que regresara a Gotinga y mantuvieron una dura pugna con las autoridades académicas para que le concedieran una plaza. Entre tanto ella dio cursos bajo el nombre de Hilbert hasta que en 1919 consiguió una plaza. Los trabajos de Noether continuaron y tuvieron importante influencia en el desarrollo del álgebra moderna y la teoría de la relatividad, aunque la mayoría de sus ideas fueron publicadas por alumnos suyos y no por ella misma.

HIPATIA

Hipatia era la hija de Teón, que era considerado uno de los hombres más sabios de Alejandría. Nació alrededor del año 370 en Alejandría y murió en el año 415 en el mismo lugar. Fue una filósofa y maestra griega. Es la primera mujer nombrada en la historia de las matemáticas. Además de destacar en el campo de las matemáticas, también se interesó por la astronomía. 

En torno al año 400 la filósofa se había convertido en la líder de los neoplatónicos alejandrinos. Se dedicó a la enseñanza, centrándose principalmente en las obras de Platón y Aristóteles. Para este año, la casa de Hipatia ya se había convertido en un centro de instrucción al cual acudían estudiantes de las distintas partes del mundo romano, atraídos por la fama que ella tenía. 
Ninguna de sus obras han sido conservadas, pero las conocemos gracias a sus discípulos. Algunas de ellas fueron  : 

• Comentario a la Aritmética en 14 libros de Diofanto de Alejandría. 
• Canon astronómico. 
• Comentario a las secciones cónicas de Apolonio de Perga, su obra más importante. 
• Tablas astronómicas : revisión de las del astrónomo Claudio Tolomeo. 
• Edición del comentario de su padre a Los Elementos de Euclides. 

Influyó también sobre varias obras griegas muy importantes como : 

• La aritmética de Diofanto de Alejandría : basada en las soluciones de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de números. 
• Elementos de Euclides. 
• Tratad de las cónicas de Apolonio de Perge : presentan las curvas que surgen cuando cortamos un cono en planos de distintas inclinaciones. 

Además de confeccionar un planisferio, también se interesó por la mecánica. Realizó varios inventos, como un destilador, un artefacto para medir el nivel del agua y un hidrómetro graduado para medir la densidad y gravedad de los líquidos, que sirvió como precursor del actual aerómetro. 

SOPHIE GERMAIN

Marie-Sophie Germain (1 de abril de 1776 - 27 de junio de 1831) fue una matemática francesa que hizo importantes contribuciones a la teoría de números y la teoría de la elasticidad. Uno de los más importantes fue el estudio de los que posteriormente fueron nombrados como números primos de Sophie Germain (números primos cuyo doble incrementado en una unidad es también un número primo). Matemática, física y filósofa. A pesar de la oposición de sus padres y las dificultades presentadas por una sociedad sexista, ganó su educación de libros extraídos de la biblioteca de su padre y de correspondencia con famosos matemáticos como Lagrange, Legendre y Gauss. Debido al prejuicio contra su sexo, no pudo establecer una carrera en matemáticas, por lo que trabajó independientemente a lo largo de su vida.

BIOGRAFÍA

Nació en una familia francesa en París (Francia) y comenzó a estudiar matemáticas a la edad de trece años. Fue autodidacta, disfrazándose de hombre para poder entrar a estudiar en lugares de matemáticos (donde solo dejaban entrar varones). En sus investigaciones y estudios, los autografiaba como "Sr. Leblanc", para ocultar su identidad. Su interés por la matemática era tanto, que hacía todo lo posible a su alcance para poder demostrárselo a los demás.Sophie para poder incoporarse en la escuela de Paris, tuvo que robar la identidad de el alumno M.Leblanc y vestirse como un hombre, de este modo durante años pudo avanzar sus conocimiento y exponer y presentar ideas nuevas.

CONTRIBUCIONES

Una de las mayores contribuciones de Germain a la teoría de números fue la demostración matemática de la siguiente proposición: si x, y, z son enteros y x5 + y5 = z<su>5, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible por cinco. Esta demostración, que fue descrita por primera vez en una carta a Gauss, tenía una importancia significativa ya que restringía de forma considerable las soluciones del último teorema de Fermat, el famoso enunciado que no pudo ser demostrado por completo hasta 1995. Una de sus más famosas identidades, más comúnmente conocida como Identidad de Sophie Germain expresa para dos números x e y que:

Intento solucionar el Teorema de Fermat y aunque no pudo solucionarlo adquirió unos resultados que influyeron en las matemáticas de la época.

MARÍA GAETANA AGNESI

 María G. Agnesi nació en Milán en 1718, y murió también en Milán en 1799, fue una distinguida lingüista , matemática y filósofa; remplazó a su padre en la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bologna cuando éste estuvo enfermo, y fue la primera mujer en ocupar una cátedra de matemáticas. En 1748, se publicó su libro "Instituzioni Analithe" sobre cálculo diferencial, que fue muy popular; se tradujo a muchos idiomas y se usó en Europa durante muchos años.

 Fue conocida también como La Bruja de Agnesi por confundir en su libro la palabra versoria (nombre latino de la curva de una función),  por versiera otra palabra que significa abuela del diablo o bruja, de ahí viene el nombre adoptado también por  la curva; La Bruja de Agnesi, cuya ecuación es :


A partir de los 20 años, Agnesi abandona toda actividad social y se concentra en el estudio de las matemáticas y la religión; su retiro no hubiera sido mayor de haber tomado los hábitos. La gran influencia que tuvo en su formación el monje matemático Ramiro Rampinelli, que había enseñado matemáticas en Roma y en Bolonia, enfatiza ese ambiente científico-monacal que presidió la vida de la matemática italiana. Rampinelli aportó a Agnesi el contacto con los Ricatti, que tuvieron también gran influencia sobre ella; sabemos que Vincenzo se prestó a leer la versión final de las Instituzioni por indicación de su padre, y también que aportó material propio, al que María Gaetana esperó para iniciar la impresión del libro.

Al-Jwarizmi

Al-Jwarizmi

 Al-Jwarizmi, fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán, que vivió aproximadamente entre el año 780 y el 850.
 De su biografía se conoce poco. Existen discusiones sobre su lugar de nacimiento. Algunos sostienen que nació en Bagdad. Otros, siguiendo el artículo de Gerald Toomer (a su vez, basado en escritos del historiador Al-Tabari) sostienen que nació en la ciudad corasmia de Jiva, en el actual Uzbekistán. Estudió y trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX, en la corte del califa Al-Mamun. Para muchos, fue el más grande de los matemáticos de su época.

 Debemos a su nombre y a su obra principal, "Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala", nuestras palabras álgebra y algoritmo, entre otras. De hecho, es considerado como el padre del álgebra y el introductor de nuestro sistema de numeración denominado arábigo.

 En su tratado de álgebra Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala, obra eminentemente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada a la resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces. La traducción de los fines de este libro dan cuenta lo que el sabio pretendía enseñar:

 [...] aquello que es fácil y más útil en aritmética, tal que los hombres lo requieren constantemente en casos de herencia, legados, particiones, juicios, y comercio, y en todos sus tratos con los demás, o cuando se trata de la mensura de tierras, la excavación de canales, cálculos geométricos, y otros objetos de varias clases y tipos.

 Luego de presentar los números naturales, Al-Jwarizmi aborda la cuestión principal en la primera parte del libro: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrado. Para él, por ejemplo, una unidad era un número, una raíz era y un cuadrado . Es de destacar que Al-Jwarizmi no empleaba símbolos de ninguna clase, sino sólo palabras.

http://es.wikipedia.org/wiki/Al-Juarismi#cite_note-4

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/j/jwarizmi.htm

Octubre

En el mes de Octubre , la verdad es que no hemos hecho ninguna excursión ni nada en especial. Aún así, hablaré de lo que hemos estudiado durante este mes en la clase de matemáticas. 
Hemos estudiado los dos primeros temas.
En el tema 1 vimos las fracciones y los decimales. Lo primero que hicimos fue repasar la clasificación de los números haciendo un esquema como este: 

Después seguimos repasando todas las operaciones con fracciones y a usar las fracciones como operador. También repasamos los números decimales , pasar de fracción a decimal o de decimal a fracción, los cálculos con porcentajes ( calcular un tanto por ciento de una cantidad, obtener el tanto por ciento correspondiente a una proporción, calcular los aumentos porcentuales, calcular las disminuciones porcentuales...) y el interés compuesto y el simple. 

En el tema 2 repasamos la potenciación con todas sus propiedades, las raíces exactas, los radicales, los números racionales y los irracionales, la aproximación y los errores y, por último, la notación científica. 

ARQUÍMEDES

Matemático griego.

Sus escritos, de los que se han conservado una decena, son prueba elocuente del carácter polifacético de su saber científico. Hijo del astrónomo Fidias, quien probablemente le introdujo en las matemáticas, aprendió de su padre los elementos de aquella disciplina en la que estaba destinado a superar a todos los matemáticos antiguos, hasta el punto de aparecer como prodigioso, "divino", incluso para los fundadores de la ciencia moderna. Sus estudios se perfeccionaron en aquel gran centro de la cultura helenística que era la Alejandría de los Tolomeos, en donde Arquímedes fue, hacia el año 243 a.C., discípulo del astrónomo y matemático Conón de Samos, por el que siempre tuvo respeto y admiración.

Allí, después de aprender la no despreciable cultura matemática de la escuela (hacía poco que había muerto el gran Euclides), estrechó relaciones de amistad con otros grandes matemáticos, entre los cuales figuraba Eratóstenes, con el que mantuvo siempre correspondencia, incluso después de su regreso a Sicilia. A Eratóstenes dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico.

Al parecer, más tarde volvió a Egipto durante algún tiempo como "ingeniero" de Tolomeo, y diseñó allí su primer gran invento, la "cóclea", una especie de máquina que servía para elevar las aguas y regar de este modo regiones a las que no llegaba la inundación del Nilo. Pero su actividad madura de científico se desenvolvió por completo en Siracusa, donde gozaba del favor del tirano Herón II. Allí alternó inventos mecánicos con estudios de mecánica teórica y de altas matemáticas, imprimiendo siempre en ellos su espíritu característico, maravillosa fusión de atrevimiento intuitivo y de rigor metódico.

Sus inventos mecánicos son muchos, y más aún los que le atribuyó la leyenda (entre estos últimos debemos rechazar el de los espejos ustorios, inmensos espejos con los que habría incendiado la flota romana que sitiaba Siracusa); pero son históricas, además de la "cóclea", numerosas máquinas de guerra destinadas a la defensa militar de la ciudad, así como una "esfera", grande e ingenioso planetario mecánico que, tras la toma de Siracusa, fue llevado a Roma como botín de guerra, y allí lo vieron todavía Cicerón y quizás Ovidio.

 La más divulgada de estas anécdotas la relata Vitrubio y se refiere al método que utilizó para comprobar si existió fraude en la confección de una corona de oro encargada por Herón II, tirano de Siracusa y protector de Arquímedes, y quizás incluso pariente suyo. Se cuenta que el tirano, sospechando que el joyero le había engañado poniendo plata en el interior de la corona, pidió a Arquímedes que determinase los metales de que estaba compuesta sin romperla. Arquímedes meditó largo tiempo en el difícil problema, hasta que un día, hallándose en un establecimiento de baños, advirtió que el agua se desbordaba de la bañera a medida que se iba introduciendo en ella. Esta observación le inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le planteó el tirano: si sumergía la corona en un recipiente lleno hasta el borde y medía el agua que se desbordaba, conocería su volumen; luego podría comparar el volumen de la corona con el volumen de un objeto de oro del mismo peso y comprobar si eran iguales. Se cuenta que, impulsado por la alegría, Arquímedes corrió desnudo por las calles de Siracusa hacia su casa gritando «Eureka! Eureka!», es decir, «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!». Corresponde al famoso principio de Arquímedes (todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del volumen de agua que desaloja), y, como allí se explica, haciendo uso de él es posible calcular la ley de una aleación, lo cual le permitió descubrir que el orfebre había cometido fraude.

 

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica consiste en una tupla de tres enteros positivos a, b, c que cumplen que a² + b² = c². El nombre deriva del Teorema de Pitágoras, con lo cual, cualquier terna pitagórica se puede asociar con las longitudes de dos catetos y una hipotenusa, formando un triángulo rectángulo. 

Las ternas pitagóricas suelen representarse como (a, b, c). Las ternas cuyos tres números son coprimos, es decir, que no tienen ningún factor primo en común, reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas. Las 16 primeras ternas pitagóricas primitivas, con c ≤ 100 son:

( 3 , 4 , 5 )	( 5, 12, 13)	( 7, 24, 25)	( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

- Referencias: http://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitagórica

La sucesión de Fibonacci

 La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales:

La sucesión comienza con los números 1 y 1, y a partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores.

Esta sucesión fue descrita en Europa por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII también conocido como  Leonardo de Pisa. Tiene numerosas aplicaciones en informática , matemáticas y teoría de juegos.

El termino general de la sucesión queda descrito asi:   

procedencia de la imagen    
Representación de la sucesión en una gráfica.

La vida de Pitágoras

 Pitágoras nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C. Fue discípulo de Tales  y de Fenecidas de Siria, y estudió en la escuela de Mileto. Pitágoras sufrió el exilio para escapar de la tiranía del dictador Samio Polícrates, y estubo vagabundeando hasta establecerse  en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia, alli fundó su famosa escuela pitagórica, en Crotona al sur de Italia. La escuela pitagórica era una asociación político-religiosa-filosófica que para entrar en ella tenias que estar en ella, además alli toda la información se transmitia de forma oral. Se cree también que inventó, las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras, aunque ya los egipcios y los babilonios lo usaban en sus cálculos y construcciones pero sin haberlo demostrado.

Ternas Pitagóricas

 Una terna pitagórica consiste en una tupla (secuencia ordenada de objetos, en este caso números) de tres números enteros positivos a, b, c que cumplen que a^2 + b^2 = c^2. El nombre deriva del Teorema de Pitágoras. Cualquier terna pitagórica puede asociarse con las longitudes de dos catetos y una hipotenusa, formando un triángulo rectángulo.

 Las ternas cuyos tres números son coprimos (números que no tienen ningún factor primo en común) reciben el nombre de ''ternas pitagóricas primitivas''. Las 16 primeras ternas pitagóricas primitivas, con c < 100 son:

(3, 4, 5)  (5, 12, 13)  (7, 24, 25)  (8, 15, 17)

(9, 40, 41)  (11, 60, 61)  (12, 35, 37)  (13, 84, 85)

(16, 63, 65)  (20, 21, 29)  (28, 45, 53)  (33, 56, 65)

(36, 77, 85)  (39, 80, 89)  (48, 55, 73)  (65, 72, 97)

http://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica

Octubre

 A pesar de ser el décimo mes del calendario gregoriano, Octubre recibe este nombre por ser el octavo mes del calendario romano, ya que se consideraba a Marzo como el primer mes del año y a Diciembre como el último. Como ya sabemos, es un mes de lluvias, tiempo en el que los árboles comienzan a perder sus hojas y momento ideal para ir a buscar setas.

 Pero en esta entrada no voy a hablar de las características de Octubre, si no del desarrollo de este mes en el curso escolar.

 Puesto que Dori nos ha propuesto hablar de la materia dada en matemáticas, os hablaré de los contenidos que hemos aprendido en Octubre.

 Empecemos en orden, por el Tema 1. Fracciones y decimales. Repasamos la clasificación de los números:

 También vimos todo lo relacionado con las fracciones: simplificación de fracciones, fracciones equivalentes; suma, resta, multiplicación y división de fracciones; cómo utilizar la fracción como operador...

 Después vimos los números decimales, tipos de números decimales, el paso de fracción a decimal y viceversa, también vimos los porcentajes y el interés simple y compuesto.

 En el Tema 2 hicimos un repaso de la potenciación y de sus propiedades:

 También vimos las raíces, los radicales, información sobre Pitágoras y los números, aproximaciones, errores y notación científica.

- Referencias

http://es.wikipedia.org/wiki/Octubre

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero#mediaviewer/File:AL_Numeros_01.svghttp://matecad.blogspot.com.es/2009/01/ecuaciones-inecuaciones-potencias-y.html

Obra de Pitágoras

1)-El teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo: «la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa». Si bien este resultado y las ternas pitagóricas eran conceptos ya conocidos y utilizados por los matemáticos babilonios y de la India desde mucho tiempo, fueron los pitagóricos los primeros que enunciaron una demostración formal del teorema; esta demostración es la que se encuentra en Los Elementos de Euclides. También demostraron el inverso del teorema: si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es rectángulo. Debe hacerse hincapié además, en que «el cuadrado de un número» no era interpretado como «un número multiplicado por sí mismo», como se concibe actualmente, sino en términos de los lados de un «cuadrado geométrico».

2)-Sólidos perfectos: Los pitagóricos demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares. Se cree que Pitágoras sabía cómo construir los tres (o cuatro) primeros, pero fue Hipaso de Metaponto (470 a.C.) quien descubrió el dodecaedro. Se debe a Teeteto la demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

3)-Ángulos interiores de un triángulo: Encontraron que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, así como la generalización de este resultado a polígonos de n - lados.

4)- Un triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo. Proposición de 

origen pitagórico (según Diógenes).

5)-Construcción de figuras dada un área determinada. Por ejemplo la resolución de ecuaciones como a•(a-x)=x² por métodos geométricos.11

6)-La irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros. Este evento marca el descubrimiento de los números irracionales, si bien a la época, sólo podía entenderse en términos de inconmensurabilidad de magnitudes [números] «enteras», o «proporciones geométricas». Un método de aproximación (aproximación diofántica) posiblememente desarrollado por Arquitas, utiliza el algoritmo de Euclides, y está presente en Los Elementos.

7)-El descubrimiento de los Números perfectos y los Números amigos: Jámblico atribuye a Pitágoras el haber descubierto el par de números amigos (220, 284).

8)-Medias: Los pitagóricos examinaron exhaustivamente las razones y proporciones entre los números enteros; la media aritmética, la media geométrica y la media armónica y las relaciones entre ellas.

9)-El descubrimiento de los Números poligonales: Un número es «poligonal» (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de puntos se pueden acomodar formando el polígono correspondiente.

10)Tetraktys: Se atribuye a Pitágoras el haber ideado la «Tetraktys», la figura triangular compuesta por diez puntos ordenados en cuatro filas. Fue un símbolo de especial importancia para los pitagóricos, que solían juramentar en su nombre.

Tomás Marcos de Dios 3º ESO B TIC 9-11-14